Câu A:

Ta có:
\(A=\frac{n}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{6}=\frac{2n}{6}+\frac{3n^2}{6}+\frac{n^3}{6}\)

\(=\frac{2n+3n^2+n^3}{6}\)

Xét tử : \(2n+3n^2+n^3=n(n^2+3n+2)=n(n^2+n+2n+2)\)

\(=n[n(n+1)+2(n+1)]=n(n+1)(n+2)\)

Vì \(n(n+1)(n+2)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên \(n(n+1)(n+2)\vdots 3\)

Vì $n(n+1)$ là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên \(n(n+1)\vdots 2\)

\(\Rightarrow n(n+1)(n+2)\vdots 2\)

Mà \((2,3)=1\Rightarrow n(n+1)(n+2)\vdots (2.3=6)\)

Do đó: \(A=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}\in\mathbb{Z}\)

Ta có đpcm.

Câu B:

Ta có:

\(B=\frac{n^4}{24}+\frac{6n^3}{24}+\frac{11n^2}{24}+\frac{6n}{24}\)\(=\frac{n^4+6n^3+11n^2+6n}{24}\)

Xét mẫu:

\(n^4+6n^3+11n^2+6n=n(n^3+6n^2+11n+6)\)

\(=n[n^2(n+1)+5n(n+1)+6(n+1)]\)

\(=n(n+1)(n^2+5n+6)=n(n+1)[n^2+2n+3n+6]\)

\(=n(n+1)[n(n+2)+3(n+2)]\)

\(=n(n+1)(n+2)(n+3)\)

Vì $n(n+1)(n+2)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên \(n(n+1)(n+2)\vdots 3\)

\(\Rightarrow n(n+1)(n+2)(n+3)\vdots 3\)

Vì $n,n+1,n+2,n+3$ là 4 số nguyên liên tiếp nên trong đó chắc chắn có một số chia $4$ dư $2$ , một số chia hết cho $4$

\(\Rightarrow n(n+1)(n+2)(n+3)\vdots (2.4=8)\)

Mà $(3,8)=1$ nên \(n(n+1)(n+2)(n+3)\vdots (8.3=24)\)

Do đó: \(B=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}\in\mathbb{Z}\) (đpcm)

a/ \(A=\dfrac{3n+2}{n+1}=\dfrac{3\left(n+1\right)-1}{n+1}=3-\dfrac{1}{n+1}\)

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}A\in Z\\3\in Z\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{n+1}\in Z\)

\(\Leftrightarrow1⋮n+1\Leftrightarrow n+1\inƯ\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\)

Ta có :

+) \(n+1=1\Leftrightarrow n=0\left(tm\right)\)

+) \(n+1=-1\Leftrightarrow n=-2\left(tm\right)\)

Vậy...

b/ Gọi \(d=ƯCLN\) \(\left(3n+2,n+1\right)\) \(\left(d\in N\cdot\right)\)

Ta có : 

\(\left\{{}\begin{matrix}3n+2⋮d\\n+1⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3n+2⋮d\\3n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)

\(\Leftrightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{1\right\}\)

\(\LeftrightarrowƯCLN\) \(\left(3n+2,n+1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{3n+2}{n+1}\) là phân số tối giản với mọi n 

Vậy...

\(B=\frac{n^4}{24}+\frac{n^3}{4}+\frac{11n^2}{24}+\frac{n}{4}\)

\(B=\frac{n^4+6n^3+11n^2+6n}{24}\)

\(B=\frac{n^4+2n^3+4n^3+8n^2+3n^2+6n}{24}\)

\(B=\frac{n^3\left(n+2\right)+4n^2\left(n+2\right)+3n\left(n+2\right)}{24}\)

\(B=\frac{\left(n^3+n^2+3n^2+3n\right)\left(n+2\right)}{24}\)

\(B=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+3\right)\left(n+2\right)}{24}\)

Lập luận là ra

a) Ta có: \(P=\dfrac{2x+2}{\sqrt{x}}+\dfrac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\dfrac{x^2+\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+x}\)

\(=\dfrac{2x+2}{\sqrt{x}}+\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{\sqrt{x}\left(x\sqrt{x}+1\right)}{x\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{2x+2}{\sqrt{x}}+\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\dfrac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{2x+2+x+\sqrt{x}+1-x+\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{2x+2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\)

mình nghĩ đề là tìm n nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên nhé

Ta có : \(B=\dfrac{2n+1}{n-2}=\dfrac{2\left(n-2\right)+5}{n-2}=2+\dfrac{5}{n-2}\)

Vì 2 nguyên nên \(\dfrac{5}{n-2}\)cũng nguyên 

\(\Rightarrow n-2\inƯ\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

a: \(N=\dfrac{x+\sqrt{x}+1+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{x+\sqrt{x}+2}{x\sqrt{x}-1}\)

b: \(P=M\cdot N\)

\(=\dfrac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{x+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{3x+3\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

Cái này mình chỉ rút gọn được P thôi, còn P nguyên thì mình xin lỗi bạn rất nhiều nha

uk

ĐK:n≠-2

Gọi \(d=ƯCLN\left(n+3,n+2\right)\)

\(\Rightarrow n+3⋮d;n+2⋮d\\ \Rightarrow n+3-n-2⋮d\\ \Rightarrow1⋮d\\ \Rightarrow d=1\)

Vậy n+3 và n+2 nctn hay \(\dfrac{n+3}{n+2}\) tối giản

Với n=-2 trái vs ĐKXĐ nên A ko xác định